Cohen’s d Nedir, Nasıl Hesaplanır ve Yorumlanır?

Cohen’s d, iki grubun ortalamaları arasındaki farkın standart sapma birimiyle ifade edilmiş hâlidir. Kısaca, “iki grup arasındaki fark ne kadar büyük?” sorusunun ölçü birimi bağımsız yanıtıdır. Anlamlılık değeri (p) farkın tesadüfi olup olmadığını söyler; Cohen’s d ise farkın ne kadar büyük olduğunu söyler (Cohen, 1988).

Bu yazıda Cohen’s d’nin ne olduğu, nasıl hesaplandığı, SPSS ve JASP’ta nasıl elde edildiği, hangi eşiklere göre yorumlandığı, Hedges’ g ve Glass’s delta’dan farkı ve APA 7’ye göre nasıl raporlandığı adım adım ele alınmaktadır.

Etki büyüklüğü niçin raporlanmalıdır?

Anlamlılık değeri örneklem büyüklüğüne doğrudan bağlıdır. Yeterince büyük bir örneklemde, uygulamada hiçbir anlam taşımayan küçücük bir fark bile istatistiksel olarak anlamlı çıkar. Tersine, küçük bir örneklemde gerçek ve önemli bir fark anlamsız görünebilir.

Bu nedenle APA 7. baskı, anlamlılık testi raporlanan her yerde etki büyüklüğünün de verilmesini şart koşar (American Psychological Association, 2020). Etki büyüklüğü olmayan bir bulgu bölümü, günümüzde çoğu dergide eksik kabul edilir.

Cohen’s d nedir?

Cohen’s d, iki ortalama arasındaki farkın birleştirilmiş standart sapmaya bölünmesiyle elde edilir. Sonuç bir standart sapma birimidir: d = 0,50 ise iki grubun ortalaması arasında yarım standart sapmalık bir fark var demektir.

Değerin ölçü biriminden bağımsız olması, farklı çalışmaların karşılaştırılabilmesini sağlar. Bir çalışmada puanlar 100 üzerinden, diğerinde 5’li Likert ile ölçülmüş olsa bile, iki çalışmanın d değerleri doğrudan karşılaştırılabilir. Meta-analizlerin temel birimi de bu nedenle Cohen’s d’dir.

Formüller ve hesaplama

Bağımsız iki grup için

d = (M₁ − M₂) / s_birleşik

Birleştirilmiş standart sapma şöyle hesaplanır:

s_birleşik = √ [ ((n₁ − 1)·s₁² + (n₂ − 1)·s₂²) / (n₁ + n₂ − 2) ]

Bağımlı (eşleştirilmiş) gruplar için

Öntest–sontest karşılaştırmalarında iki yaygın yaklaşım vardır. d_z, fark puanlarının standart sapmasını kullanır ve güç analizinde tercih edilir. d_av ise iki ölçümün standart sapmalarının ortalamasını kullanır ve bağımsız gruplarla karşılaştırılabilir sonuç verdiği için raporlamada önerilir (Lakens, 2013). Hangisinin kullanıldığı mutlaka belirtilmelidir.

Tek örneklem için

d = (M − μ) / s. Örneklem ortalamasının bilinen bir değerden farkı incelendiğinde kullanılır.

Elle hesaplama: adım adım örnek

Deney grubunun (n₁ = 60) başarı puanı ortalaması 78,4 ve standart sapması 10,2; kontrol grubunun (n₂ = 58) ortalaması 72,1 ve standart sapması 11,4 olsun.

1. Kareler toplamı: (60 − 1) × 10,2² = 59 × 104,04 = 6.138,36 ve (58 − 1) × 11,4² = 57 × 129,96 = 7.407,72
2. Toplam: 6.138,36 + 7.407,72 = 13.546,08
3. Serbestlik derecesine bölme: 13.546,08 / (60 + 58 − 2) = 13.546,08 / 116 = 116,78
4. Birleştirilmiş standart sapma: √116,78 = 10,81
5. Cohen’s d: (78,4 − 72,1) / 10,81 = 6,3 / 10,81 = 0,58

Sonuç orta düzeyde bir etkiye işaret eder. Aynı veride t değeri yaklaşık 3,17 ve eta kare yaklaşık 0,08 olarak bulunur; üç ölçü birbiriyle tutarlıdır.

SPSS, JASP ve R’da nasıl elde edilir?

• SPSS (sürüm 27 ve üzeri): Analyze → Compare Means → Independent-Samples T Test yolunda Estimate effect sizes kutusu işaretlenir. Çıktıda Cohen’s d, Hedges’ düzeltmesi ve Glass’s delta güven aralıklarıyla birlikte verilir.
• SPSS (eski sürümler): Doğrudan vermez. t değeri ve serbestlik derecesinden hesaplanabilir: d = 2t / √df (eşit olmayan gruplarda yaklaşık değer verir) ya da yukarıdaki formülle betimsel istatistiklerden elde edilir.
• JASP: T-Test menüsünde Effect size seçeneği işaretlenir; güven aralığı da aynı kutudan istenir.
• R: effectsize paketinde cohens_d(), hedges_g() fonksiyonları kullanılır.

SPSS üzerinden etki büyüklüğü hesaplama ve çıktı okuma ayrıntıları için SPSS’te etki büyüklüğü yazısı incelenebilir.

Yorumlama eşikleri

Cohen (1988) tarafından önerilen ve bugün yaygın olarak kullanılan eşikler şunlardır:

Bu eşikler mutlak ölçütler değildir. Cohen’in kendisi de bunları “başka ölçüt yokken kullanılacak kaba göstergeler” olarak tanımlamıştır. Alanlar arasında beklenen etki büyüklükleri farklıdır: eğitim müdahalelerinde 0,40 kayda değer bir etkiyken, laboratuvar koşullarında yürütülen bir bellek deneyinde aynı değer küçük sayılabilir. Bu nedenle d değeri yorumlanırken kendi alanyazınındaki benzer çalışmalarla karşılaştırılmalıdır.

Cohen’s d, Hedges’ g ve Glass’s delta farkı

Örneklem büyüdükçe d ile g arasındaki fark kaybolur. Yukarıdaki örnekte (N = 118) düzeltme çarpanı 0,99 civarındadır ve g yine 0,58 çıkar. Örneklem 20’nin altındaysa d, etkiyi sistematik olarak abartır; bu durumda Hedges’ g raporlanmalıdır.

APA 7’ye göre nasıl raporlanır?

Etki büyüklüğü, ilgili testin sonucuyla aynı cümlede verilmelidir:

“Deney grubunun başarı puanı ortalaması (M = 78,40; SS = 10,20), kontrol grubunun ortalamasından (M = 72,10; SS = 11,40) anlamlı düzeyde yüksektir, t(116) = 3,17; p = 0,002; d = 0,58; %95 GA [0,21; 0,95]. Bulgu orta düzeyde bir etkiye işaret etmektedir.”

Dikkat edilmesi gereken noktalar:

• Ondalık ayırıcı olarak Türkçe metinlerde virgül kullanılır.
• d değeri iki ondalık basamakla verilir.
• Güven aralığı köşeli parantez içinde ve alt–üst sınır sırasıyla yazılır.
• Yalnızca sayı verilip yorumlanmaması bir eksikliktir; “orta düzeyde etki” gibi bir ifade eklenmelidir.

Güven aralığı niçin verilmelidir?

Cohen’s d bir tahmindir; başka bir örneklemde farklı çıkacaktır. Güven aralığı bu belirsizliğin genişliğini gösterir. Yukarıdaki örnekte %95 güven aralığının [0,21; 0,95] olması, gerçek etkinin küçük ile büyük arasında herhangi bir yerde olabileceği anlamına gelir — yani nokta tahmini olan 0,58’e olduğundan fazla güvenilmemelidir (Cumming, 2014).

Güven aralığı sıfırı içeriyorsa, etkinin yönü konusunda kesin konuşulamaz. Aralığın darlığı ise örneklem büyüklüğünün yeterliliğine ilişkin doğrudan bir göstergedir.

Cohen’s d ile eta kare arasındaki ilişki

İki ölçü aynı bilgiyi farklı biçimde ifade eder ve birbirine dönüştürülebilir:

• t değerinden eta kare: η² = t² / (t² + df)
• Eta kareden d: d = 2 × √(η² / (1 − η²))

Yukarıdaki örnekte η² = 3,17² / (3,17² + 116) ≈ 0,08 bulunur; bu değerden geri dönüldüğünde d yeniden yaklaşık 0,58 elde edilir. İki gruplu karşılaştırmalarda genellikle d, ikiden fazla grup içeren varyans analizlerinde ise eta kare tercih edilir.

Cohen’s d’nin görsel karşılığı: örtüşme ve üstünlük olasılığı

Etki büyüklüğü soyut bir sayı olarak kaldığında yorumlanması güçtür. Aynı d değeri üç farklı biçimde ifade edilebilir ve bu ifadeler tartışma bölümünü belirgin biçimde güçlendirir:

Tablonun son sütunu özellikle uygulamalı alanlarda kullanışlıdır. d = 0,80 gibi “büyük” sayılan bir etkide bile, rastgele seçilen bir deney katılımcısının kontrol katılımcısından yüksek puan alma olasılığı yalnızca %71’dir. Bu, etki büyüklüklerinin abartılı yorumlanmasını engelleyen sağlıklı bir hatırlatmadır.

Örneklem büyüklüğü Cohen’s d üzerinden nasıl belirlenir?

Etki büyüklüğü yalnızca analiz sonunda hesaplanan bir değer değildir; araştırma başlamadan önce örneklem büyüklüğünü belirlemek için de kullanılır. Güç analizinde dört değer birbirine bağlıdır: etki büyüklüğü, anlamlılık düzeyi (α), istatistiksel güç (1 − β) ve örneklem büyüklüğü. Üçü bilindiğinde dördüncüsü hesaplanır.

Bağımsız iki grup karşılaştırması için, α = 0,05 ve güç = 0,80 kabul edildiğinde gereken grup başına örneklem büyüklükleri şöyledir:

Tablo, tez planlamasının en pratik özetlerinden biridir: küçük bir etkiyi yakalamak istiyorsanız neredeyse 800 kişilik bir örneklem gerekir. Bu nedenle güç analizi, veri toplamaya başlamadan önce yapılmalı ve tezde raporlanmalıdır.

Beklenen etki büyüklüğü, alanyazındaki benzer çalışmalardan alınır. Böyle bir çalışma yoksa “alanda anlamlı sayılacak en küçük etki” belirlenip onun üzerinden hesaplama yapılması, keyfî olarak 0,50 seçilmesinden çok daha savunulabilir bir yaklaşımdır.

Meta-analizde Cohen’s d

Meta-analizler, farklı ölçeklerle yürütülmüş çalışmaları ortak bir birime çevirerek birleştirir; bu birim çoğunlukla standartlaştırılmış ortalama farktır. Uygulamada Cohen’s d yerine küçük örneklem düzeltmesi içeren Hedges’ g tercih edilir, çünkü meta-analize dahil edilen çalışmaların bir kısmı küçük örneklemlidir (Hedges, 1981).

Bir çalışmanın meta-analize dahil edilebilmesi için şu bilgilerin raporda bulunması gerekir: her grubun örneklem büyüklüğü, ortalaması ve standart sapması; ya da t değeri ve serbestlik derecesi. Bu bilgiler eksik bırakıldığında çalışma, aksi hâlde dahil edilebilecekken kapsam dışında kalır. Bulgular bölümünde betimsel istatistiklerin eksiksiz verilmesinin pratik gerekçelerinden biri budur.

Sık yapılan hatalar

• Yalnızca p değerinin raporlanması. Etki büyüklüğü olmadan bulgunun önemi değerlendirilemez.
• d değerinin verilip yorumlanmaması. Sayının küçük, orta ya da büyük etkiye karşılık geldiği yazılmalıdır.
• Eşiklerin mutlak kabul edilmesi. 0,49 için “küçük”, 0,51 için “orta” demek anlamsızdır; eşikler yaklaşık göstergelerdir.
• Bağımlı gruplarda hangi d’nin kullanıldığının belirtilmemesi. d_z ile d_av farklı değerler üretir.
• Küçük örneklemde düzeltme yapılmaması. N < 20 iken Hedges’ g kullanılmalıdır.
• Negatif işaretin yorumlanmaması. İşaret yalnızca hangi grubun yüksek olduğunu gösterir; büyüklük mutlak değerle yorumlanır.
• Güven aralığının atlanması. APA 7 aralık verilmesini önerir.

Tez savunmasında sıkça sorulan sorular

• Bulduğunuz d değeri alanınızda ne anlama geliyor? Benzer çalışmalarda hangi değerler bildirilmiş?
• Etki büyüklüğünü hangi formülle hesapladınız? SPSS çıktısından mı aldınız?
• Örnekleminiz küçük; Hedges’ g kullanmanız gerekmez miydi?
• Öntest–sontest karşılaştırmasında hangi d türünü kullandınız?
• Güven aralığınız neden bu kadar geniş?
• Anlamlı çıkmayan karşılaştırmaların etki büyüklüğünü niçin raporlamadınız?

Sık sorulan sorular

Cohen’s d negatif çıkarsa ne anlama gelir?
Yalnızca çıkarma sırasını gösterir. Birinci grubun ortalaması ikincisinden düşükse değer negatif olur. Yorumlarken mutlak değeri kullanılır, ancak hangi grubun lehine olduğu cümlede belirtilmelidir.

Anlamlı çıkmayan sonuçlar için etki büyüklüğü verilmeli midir?
Evet. Anlamsız ama orta büyüklükte bir etki, çalışmanın gücünün yetersiz olduğunu gösterir ve bu bilgi sonraki araştırmalar için değerlidir.

Non-parametrik testlerde Cohen’s d kullanılabilir mi?
Doğrudan kullanılmaz. Mann-Whitney U için r = Z / √N ya da rank-biserial korelasyon, Kruskal-Wallis için epsilon kare tercih edilir.

Cohen’s d 1’in üzerinde çıkabilir mi?
Çıkabilir. Üst sınırı yoktur. Ancak çok yüksek değerler önce veri hatası, aşırı homojen gruplar ya da uç değer olasılığı bakımından kontrol edilmelidir.

Güç analizi için hangi d değeri kullanılmalıdır?
Alanyazındaki benzer çalışmaların ortalama etki büyüklüğü kullanılmalıdır. Böyle bir veri yoksa, alanda beklenen en küçük anlamlı etki (smallest effect size of interest) belirlenip onun üzerinden hesaplama yapılması önerilir.

İlgili yazı: Hakemler etki büyüklüğünün bildirilmediği gerekçesiyle makalenizi geri çevirdiyse Makale Reddedilirse Ne Yapılmalı? yazımızdaki adım adım planı inceleyebilirsiniz.

p değeri ile etki büyüklüğünün neden birlikte raporlanması gerektiğini p değeri .05’in altındaysa sonuç önemli midir? yazımızda anlattık.

Kaynakça

American Psychological Association. (2020). Publication manual of the American Psychological Association (7. baskı). APA.

Cohen, J. (1988). Statistical power analysis for the behavioral sciences (2. baskı). Lawrence Erlbaum.

Cumming, G. (2014). The new statistics: Why and how. Psychological Science, 25(1), 7–29.

Hedges, L. V. (1981). Distribution theory for Glass’s estimator of effect size and related estimators. Journal of Educational Statistics, 6(2), 107–128.

Lakens, D. (2013). Calculating and reporting effect sizes to facilitate cumulative science: A practical primer for t-tests and ANOVAs. Frontiers in Psychology, 4, 863.

Sawilowsky, S. S. (2009). New effect size rules of thumb. Journal of Modern Applied Statistical Methods, 8(2), 597–599.

Varyans analizlerinde kullanılan etki büyüklüğü ölçüsü ve SPSS’in verdiği değerin hangisi olduğu için: Eta Kare ve Kısmi Eta Kare (η²) Nedir?

Gereken katılımcı sayısının güç analiziyle nasıl belirleneceği için: Örneklem Büyüklüğü Nasıl Belirlenir? (G*Power ile)